При моделировании различных процессов возникает проблема выбора класса исчислений, средствами которого следует описывать рассматриваемый процесс или систему. Исследуем вопрос о возможностях канонических исчислений Э. Поста при моделировании сложных дискретных систем (СДС). Каноническим исчислением (КИ) называется четверка вида [1]:

где A - алфавит исчисления, а-список аксиом КИ, P - алфавит переменных, G-список правил вывода, каждое из которых имеет вид

(2)

-------------------------------------------------------------

является реализацией схемы(2). Список слов называется выводом в КИ, если каждое слово этого списка является аксиомой данного КИ или непосредственно выводимо по какой-нибудь схеме из слов, предшествующих этому слову в рассматриваемом списке. Длиной вывода называется число слов в выводе. Слово P называется выводимым в КИ, если можно построить вывод в КИ, последним словом которого является P.

Понятия вывода и выводимости в КИ позволяют определить эквивалентность исчислений и их отношения с понятием множества (2). Если алфавит содержит A, то оно называется исчислением над A. Два исчисления над A эквивалентны относительно A, если любое слово в A выводимо в первом исчислении тогда и только тогда, когда оно выводимо во втором. Пара

(A, T) , (3)

где T - каноническое исчисление над A, является представлением множества выводимых в T слов алфавита A. При этом A называется основным алфавитом представления, а дополнение до полного алфавита исчисления T называется вспомогательным алфавитом, при этом говорят, что T строго представляет множество выводимых в нем слов.

Множество M слов в A перечислимо, если для него существует представление (3).

Рассмотрение вопроса о корректности продукционных моделей, построенных средствами канонических исчислений Поста и их позднейших модификаций показало возможность представления отношений, функций и алгоритмов, и применимость некоторых традиционных методов анализа логической непротиворечимости для КИ. Исследовалась представимость n-арных отношений, частично рекурсивных функций и произвольных алгоритмов.

Анализ свойств замкнутости рекурсивно перечислимых множеств показывает, что алгоритмически неразрешимые проблемы остаются неразрешимыми и в аппарате КИ.

С точки зрения моделирования СДС средствами КИ эти положения означают невозможность доказательства выводимости тех или иных фактов, событий или состояний для произвольной модели СДС.

В теории моделирования принято выделять ряд основных подходов, которые применяются к различным классам систем и объектов. Такими подходами являются: непрерывно-детерминированный, дискретно-детерминированный, дискретно-стохастический, обобщенный. В рамках непрерывно - детерминированного подхода модели систем и объектов строятся в форме систем дифференциальных уравнений различных типов. Ранее уже отмечалось, что канонические исчисления (КИ) принципиально работают с дискретными математическими объектами, поэтому выполнять сопоставление RB и непрерывно-детерминированных моделей не имеет смысла.

В качестве моделей дискретно-детерминированных объектов во многих случаях используются конечные автоматы F. Как известно, классический КА задается схемой вида:

, (4)

Поскольку абстрактный КА реализует некоторое отображение множества слов входного алфавита Х на множество слов выходного алфавита Y , то можно считать его семиотической моделью, доступной для рассмотрения в терминах КA. Построим КИ, описывающее функционирование КА. При этом выявляется тот факт, что для задания самого процесса функционирования КА необходимо задать последовательность поступающих на его вход сигналов. Схема (4) не учитывает этот факт, то есть не отражает зависимость поведения КА от условий внешней среды. Каноническое исчисление Q, моделирующее поведение конечного автомата U, можно задать следующим образом:

, (5)

Множество правил вывода П будет иметь вид:

Последнее правило, завершающее работу исчисления при окончании входной последовательности:

Нетрудно видеть, что исчислением вида (4) можно определить работу как автомата Мура, так и автомата Мили. За рамками W остается формирование последовательности p. В каждом конкретном случае возможно построение p с помощью отдельного исчисления.

Средством описания систем дискретно-стохастической природы могут служить схемы вероятностных автоматов (P-автоматов). Такой автомат задается пятеркой вида

,

где {B}-множество распределений вида

,

,

; ;

Непрерывно-стохастический подход можно рассмотреть на примере систем массового обслуживания(СМО), для которых имеется хорошо разработанный математический аппарат теории массового обслуживания (3). Q-схема, описывающая процесс функционирования СМО произвольной сложности, задается в виде:

Q=(W,U,H,Z,R,A,Y),

где W-множество входящих потоков, U-множество потоков обслуживания, R-оператор сопряжения элементов структуры, H-подмножество собствен- ных параметров, A-оператор алгоритмов обслужи- вания заявок, Z-множество векторов состояний СМО, Y-множество выходных потоков.

Известно, что возможности аналитических моделей СМО являются ограниченными. Поэтому широко используются имитационные модели Q - схем, реализованные средствами различных языков моделирования. Возможности языков имитационного моделирования обсуждались авторами в ряде работ [5], [6].

Доказательство строгой адекватности моделей на канонических исчислениях Q - схемам требует более детального рассмотрения и будет приведено позднее.

Таким образом, оказывается возможным получать модели дискретно-детерминированных, дискретно-стохастических инепрерывно-стохастических систем в рамках единого математического аппарата КИ.

Предметом дальнейших исследований является создание моделей поведения различных видов вероятностных автоматов (Мура, Мили, Y- и S- детерминированных ) средствами КИ, поиск методов интерпретации Q - схем и сопоставление с обобщенным подходом, основанным на понятии агрегативной системы (6)